Connexion

Connexion Facebook

Derniers Membres

Sondage

Les examens de cette année, tu le sens comment ? (BEPC, BAC, etc...)
 

Dernières Vidéos

Pensée du jour

Mention Bien

14
Jui
2010

Youssouf Maïga remporte le défi du mois de Mai

Comme c'est le cas depuis déjà quelques mois, Mention Bien organise un prix concours visant à célébrer l'éducation et l'excellence à travers le monde et notamment dans les pays en voie de développement. Ce mois-ci, il fallait répondre juste à la question suivante:

Quels sont les deux derniers chiffres de 14^(14^14) ?

Youssouf Maïga, un élève de Terminale scientifique à Bamako est le premier participant à avoir trouver la bonne réponse et gagne un scrabble de luxe d'une valeur de 50 euros.

 

 

M.B. Bonjour, vous êtes le premier vainqueur du défi du mois de Mai sur Mention Bien, pouvez vous vous présenter à l'ensemble de la communauté ?

Youssouf Maïga: Je suis Youssouf MAIGA,  un élève malien. Le Mali est un pays situé au coeur de l'Afrique de l'Ouest et a une superficie de plus d'1 200 000 Km². Je fréquente le lycée BIYA de Bamako en classe de terminale SE (Sciences Exactes). Mon lycée, qui vient d'ailleurs de fêter ses 10 ans et se trouve dans la commune 6 de Bamako et à un effectif de plus de 1200 élèves.

M.B. Combien de temps avez vous mis pour trouver la solution au défi du mois ? Avez trouvé cette question particulièrement difficile ?

Youssouf Maïga: J'ai dû prendre au moins une semaine pour trouver la solution au défi du mois. A vu d'œil, la question semblait un peu difficile. J'ai du revenir sur mes notions d'arithmétique pour trouver la solution.

M.B. Quelle est votre impression sur le site mentionbien.com et quelles sont vos suggestions d'amélioration ?

Youssouf Maïga: Mentionbien est un site qui arrange beaucoup les élèves francophones; c'est l'un des rares sites qui traite le programme des pays francophones d'Afrique. La navigation est assez facile et le contenu est assez riche. Personnellement je pense que c'est un projet qu'il faut saluer et continuer à la développer.

M.B. Et bien Youssouf, nous te souhaitons bonne chance pour ton Bac cette année et encore bonne continuation !

 

 

La Solution du défi du mois de Mai

Trouver les deux derniers chiffres de 14^14^14 revenait à trouver le reste par division de 100 de ce nombre. Mais comme 14^14^14 = (7*2)^(14^14), l'on peut commencer par chercher les restes par 100 de 7^(14^14) et de 2^(14^14).

Le nombre 7^4-1=2401-1=2400 est divisible par 100. Il s'ensuit que si n=4k (k étant un entier), alors 7^n-1 est divisible par 100 (7^(4k)-1=(7^4)^k-1 est divisible par 7^4-1 ). Maintenant, 14^14=2^14*7^14 est divisible par 4; par conséquence, 7^14^14-1 est divisible par 100, ce qui veut dire que 7^(14^14) se termine par 01.

D'autre part, 2^20-1=(2^10-1)*(2^10+1)=1025*1023 est divisible par 25 car 1025 est divisible par 25, donc si n=20k alors 2^k-1 est divisible par 25. L'on peut donc maintenant trouver le reste de la division de 14^14 par 20. Très clairement, 14^14=2^14*7^14 mais 2^14=4*2^12 . Comme 2^12-1=(2^4)^3-1 est divisible par 2^4-1=16-1=15, alors 4*(2^12-1) est divisible par 20 et par conséquence, 2^14=4*2^12 a un reste de 4 après une division par 20.
De plus, 7^14=49*7^12 . Comme 7^12 a un reste de 1 après une division par 20 (12 est divisible par 4, 7^12-1 est donc divisible par 100), il s'ensuit que 49*7^12 donne le même reste après une division par 20 que 49, c'est à dire 9. Similairement, 14^14=2^14*7^14 divisé par 20 nous donne le même résultat que le produit 4*9=36 divisé par 20, c'est à dire 16; ou encore 14^14=20k+16. Il s'ensuit que 2^(14^14)=2^16*2^(20k) divisé par 25 nous donne le même reste que 2^16=65,536 ; donc 2^(14^14) peut se terminer seulement avec les nombres 11, 36, 61 ou 86. Comme 2^(14^14) est divisible par 4, il s'ensuit que les deux derniers nombres doivent être 36. Donc, comme 7^(14^14) se termine par 01 et 2^(14^14) se termine par 36, alors le produit 7^(14^14)*2^(14^14) se termine par 36.

 

Ajouter un commentaire (5)
Vu: 445

Mention Bien: l'éducation version Web 2.0

Mention Bien est un recueil de ressources éducatives gratuites, innovantes et de qualité. Le site propose de couvrir l'ensemble des programmes de Lycées et Collèges et ce dans toutes les matières et toutes les séries générales.
pi = sum{n=0}{+infty}{ {(n!)^2 2^{n+1}} / {(2n+1)!} }

En savoir plus ?

Installe notre nouvelle barre !

La nouvelle barre d'outils Mention Bien est tout simlement géniale ! Elle permet de rester connecté et de recevoir donc toutes les nouveautés relatives à Mention Bien mais elle permet aussi en même temps d'être connecté sur Facebook, son email, avoir les dernières news et connaître la météo locale à l'extérieur tout celà sur une seule barre d'outils.

En savoir plus ?

Crée un groupe qui te ressemble

Sur Mention Bien il est possible de créer et de faire vivre des groupes de membres partageant les même intérêts. Tu veux créer un groupe des élèves de ta classe ? De ton lycée ? ou encore de ta région ? Un groupe pour les élèves désirant partir à l'étranger ?

En savoir plus ?

Invite tes Amis !

Find your friends fast! Get your address book from any of these sites :

Live/Hotmail

Yahoo!

Facebook

YouTube

MSN

Twitter

GMail

Flickr

MySpace

Hi5

AOL